Ο Στέφανος Τσιτσιπάς γεννήθηκε στις 12 Αυγούστου 1998. Γιος του Αποστόλη Τσιτσιπά και της Τζούλιας Αποστόλη (το γένος Σαλνίκοβα) στην Καρδίτσα. Ο πατέρας του είναι Έλληνας και η μητέρα του Ρωσίδα με μια μικρή Ελληνική καταγωγή. Οι γονείς του ήταν επαγγελματίες τενίστες, ενώ η μητέρα του ήταν νούμερο 1 στην κατηγορία νέων τενιστών στη χώρα, εντός των κορυφαίων 200 παγκοσμίως και εκπροσώπησε την Σοβιετική Ένωση στο Φεντ Καπ.

Δεν προχώρησε στην καριέρα της γιατί υπήρχαν περιορισμοί στην ελευθερία μετακίνησης εκείνη την εποχή. Ο πατέρας του εργαζόταν ως δάσκαλος της αντισφαίρισης στο ξενοδοχείο Αστήρ Παλλάς στη Βουλιαγμένη όταν γεννήθηκε ο Στέφανος. Αρχικά γνωρίστηκαν σε τουρνουά της Παγκόσμιας Ομοσπονδίας Τένις στην Αθήνα, όπου η μητέρα του ήταν παίκτρια και ο πατέρας του ήταν διαιτητής. Ο Στέφανος έχει τρία αδέλφια, τον Πέτρο, τον Παύλο και την Ελισάβετ, όλοι τους παίκτες του τένις.

Οι γονείς του Τσιτσιπά θυμούνται ότι ο γιος τους άρχιζε να παίζει σε πολύ μικρή ηλικία. Ο Στέφανος δήλωσε: "Θυμάμαι ότι ήμουν τριών χρονών και χτύπαγα μπάλες με τον πατέρα μου στο κενό ανάμεσα στα μαθήματα. Θυμάμαι να βλέπω αγώνες στην τηλεόραση, όταν ήμουν μωρό. Δεν μπορώ να σας πω ποιος έπαιζε αλλά θυμάμαι ότι το παρακολουθούσα." Συμμετείχε και σε άλλες αθλητικές δραστηριότητες, όπως κολύμβηση και ποδόσφαιρο (η μεγάλη αγάπη του μετά το τένις, πρότυπο του ο Ροναλντίνιο).

Ο πατέρας του είπε ότι ο Στέφανος αποφάσισε ο ίδιος να γίνει τενίστας, ανακαλώντας τα λόγια του γιου του όταν "τον ξύπνησε στα μέσα της νύχτας" μετά από ένα τουρνουά στη Γαλλία στην ηλικία των 9 ετών, λέγοντας του "Πατέρα, έχω να σου πω κάτι. Θέλω να γίνω τενίστας, μου αρέσει ο ανταγωνισμός, μου αρέσει η πρόκληση."

Ο Στέφανος Τσιτσιπάς άρχισε να παρακολουθεί μαθήματα στον Σύλλογο Τένις της Γλυφάδας στην Αττική όταν ήταν έξι ετών, και από τότε έχει συνεχίσει εδώ και καιρό να προπονείται εκεί. Ο κύριος προπονητής ήταν ο πατέρας του, ο οποίος σπούδασε προπόνηση τένις στο Πανεπιστήμιο Αθηνών για να βοηθήσει τα παιδιά του. Το 2015, ο Τσιτσιπάς άρχισε να προπονείται στην ακαδημία Πάτρικ Μουράτογλου, χωρίζοντας τον χρόνο του ανάμεσα στη Γαλλία και την Ελλάδα εκείνη τη περίοδο. Το κόστος των ταξιδιών ήταν πολύ μεγάλο, δεν υπήρχε στήριξη από την ομοσπονδία αντισφαίρισης ή άλλο φορέα. Η αδερφή της μητέρας του τον στήριζε οικονομικά και γι' αυτό δηλώνει ευγνώμων.